数列极限

如何证明$0.999\dots = 1$:

$$ \begin{aligned} proof\ 1: \\ \frac{1}{3}&=0.333\cdots \\ \frac{1}{3}\times3&=0.333\cdots\times3 \\ 1&=0.999\cdots \\ \\ proof\ 2: \\ 0.999\cdots&=0.9+0.99+0.999+\cdots\\ &=0.9+0.99+0.999+\cdots\\ &=\frac{0.9\times(1-0.1^n)}{1-0.1}\\ &=\frac{0.9}{0.9} \\ &=1 \\ \\ proof\ 3: \\ a &= 0.999\cdots \\ 10a &= 9.999\cdots \\ 10a-a&=9 \\ a&=1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 正割:sec\theta&=\frac{1}{cos\theta}\\ 正割:csc\theta&=\frac{1}{sin\theta}\\ 余切:cot\theta&=\frac{1}{tan\theta}\\ \end{aligned} $$

两个重要极限

$$ \begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x}=1 \\ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e \end{aligned} $$

等价无穷小

当$x\rightarrow0$:

$$ \begin{aligned} sinx &\sim x \\ arcsinx &\sim x \\ tanx &\sim x \\ e^x-1 &\sim x \\ ln(1+x) &\sim x \\ 1-cosx&\sim\frac{1}{2}x^2 \\ (1+x)^a-1&\sim ax\\ (1+bx)^a-1 &\sim abx \\ a^x-1 &\sim xlna (a>0,a\ne1) \\ log_a(1+x) &\sim\frac{x}{lna} (a>0,a\ne1) \\ \end{aligned} $$
## 求导法则

一般函数求导:

$$ \begin{aligned} (u+v)'&=u'+v' \\ (uv)' &= u'v+uv' \\ (\frac{u}{v})' &= \frac{u'v-uv'}{v^2} \\ \end{aligned} $$
反函数的导数,等于原函数导数的倒数。
$$ y=f(x),\ x=\phi(y),\ \phi'(y)=\frac{1}{f'(x)} $$
复合函数遵循联式法则:
$$ y=f(u),\ u=h(t),\ t=k(w),\ w=g(x) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dw}\cdot\frac{dw}{dx}\\ \frac{d}{dx}g(h(x))=\frac{dg}{dh}(h(x))\frac{dh}{dx}(x) $$
常见函数的求导:
$$ \begin{aligned} c'&=0 \\ (x^n)'&=nx^{n-1} \\ (sinx)'&=cosx \\ (cosx)'&=-sinx \\ (log_ax)'&=\frac{1}{x}lna \\ (lnx)'&==\frac{1}{x} \\ (a^x)'&=a^xlna \\ (e^x)'&=e^x\\ (tanx)'&=(\frac{sinx}{cosx})'=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x \\ (cotx)'&=-csc^2x \\ (secx)'&=secx\cdot tanx\\ (cscx)'&=-cscx\cdot cotx \\ (arcsinx)'x&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (arccosx)'x&=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (arctanx)'x&=\frac{1}{1+x^2} \\ (arccotx)'x&=\frac{-1}{1+x^2} \\ \end{aligned} $$
## 高阶导数

求导法则:

$$ \begin{aligned} (u\pm v)^{(n)} &= u^{(n)}\pm v^{(n)} \\ (cu)^{(n)} &= cu^{(n)} \\ (uv)^{(n)}&=\sum_{i=0}^{n}C_n^iu^{(n-i)}v^{(i)} \end{aligned} $$
先函数求导:

image-20201004171414791

隐函数求导,等号两边同时对$x$求导:

image-20201004171511976

参数函数求导:

image-20201004171717622

常见的多阶导数:

$$ \begin{aligned} (sinx)^{(n)}&=sin(x+\frac{n\pi}{2}) \\ (cosx)^{(n)}&=cos(x+\frac{n\pi}{2}) \\ (lnx)^{(n)}&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n}} \end{aligned} $$
## 微分

微分是求函数在某点$x_0$附近的变化量。

image-20201004190517554

微分规则:

$$ \begin{aligned} dc&=0 \\ d(u\pm v)&=du\pm dv \\ d(uv)&=vdu+udv \\ d(cu)&=cdu \\ d(\frac{u}{v})&=\frac{vdu+udv}{v^2} \end{aligned} $$

显函数微分:

image-20201004190959176

image-20201004191100047

隐函数求导:

image-20201004191124766

近似计算:

image-20201004191222577

image-20201004191253535

微分中值定理

罗尔定理

image-20201004234302988

拉格朗日中值定理:

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,将拉格朗日中的坐标系转换成罗尔即可证明。

image-20201004234343532

柯西中值定理:

image-20201005001251899

image-20201005162606663

泰勒公式

使用微分$f(x)=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$估计函数的值误差太大,泰勒公式可以很好的表示函数的值。

image-20201005182142322

马克劳林公式

image-20201005182213341

洛必达法则

洛必达法则用于求两个函数相比的极限,适用于$\frac{0}{0}、\frac{\infty}{\infty}$型极限。

image-20201005192022562

image-20201005192633104

洛必达求解极限不存在时,原函数不一定不存在,需要改用其他方法。

image-20201005192739672

image-20201005192959826

单调性和凸凹性

单调性可以根据函数的导数判断$f’(x)>0$增函数,$f’(x)<0$减函数。

函数增减的分界点$\begin{cases} f’(x)=0(驻点)\\导数不存在的点\end{cases}$

image-20201005201951384

image-20201005202011756

函数的凸凹行可以根据二阶导数来判断,$f’’(x)>0$凸函数,$f’’(x)<0$凹函数。

$\left.\begin{matrix} f''(x)=0(拐点)\\\\二阶导数不存在的点 \end{matrix} \right\}$
可能是拐点(凸凹的分界点),还需要根据左右的凸凹性进一步判断。

image-20201005203040731